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「俺が」納得するための数学の話【内積から外積へ】

「俺が」納得するための数学の話【内積から外積へ】

さて、こないだ内積の話をしたので、そのまま外積に行ってしまいたいのだが、まぁ色々と疑問があったりで、中間でひとつ話を置きたいと思う。

良く言われるのが、内積の意味として「内積は【似ている度合】【方向が同じ度合】【その方向への値】を表す」という説明がある。もしくは内積は仕事を表すというのがある。

これは確かにそうで

A(a,b)というベクトルがあって、(1,0)との内積はaであり、(0,1)との内積はbである。このことから、「その方向」成分を抽出するともいえる。

また、この性質から、射影を表すともいえる。上の例では(1,0)も(0,1)も大きさが1であるが、これは言い替えると、

A・B=|A||B|cosΘ⇒(A・B)/|B|=|A|cosΘ

であることから、|A|cosΘはベクトルBへ真上から(広がらない)光を当てた時の影の長さと一致するわけ。このことから、Bが正規化されていればB方向への射影、B方向成分を抽出することができるわけだ。

また、物理学における「仕事」とは、力を加えて、ある方向に物体が動いたとき、力と動いた距離の積で表現される。

ただしこの時の力は動いた方向に寄与した分の力だけが「仕事」となるため、内積値を使用する必要がある。Wikipediaの説明だと

仕事

にも書いてるように、「物体に加わる力」と「変位」との内積であるとのこと。

まぁともかく、内積ってのは同じ方向を向いていればいるほどでっかくなるような積ってことだ。同じ方向度なので、特に「ベクトル」であらわす必要はない…このことから内積の結果はスカラー値となり、内積はスカラー積とも呼ばれる。

では、外積って何だろう?

意味合い的には内積が「似ている度合」なのに対し、「違ってる度合」といったところだろうか。それとも内積が「平行方向の成分」を抜き出すのに対し「直角方向の成分」を抜き出すという所だろうか。

どっちでもいいかな。僕にとっては。

ただ実用的にはというか「直角方向の成分」を抜き出すって方が考えやすそうだ。例えば、2Dの外積だとA(a,b),B(c,d)の場合

A×B=ad-bc

となる。この式と、内積のA・B=ac+bdをよく比較しよう。

A・B=ac+bd
A×B=ad-bc

なにか気が付くところはあるだろうか…少し書き方を変えてみよう

Naiseki

Gaiseki

を見比べてみよう…何か気づくことはないだろうか…。

もう少し書き加えると…

Kaiten

という風に、内積を90°回転させたものが外積であることがわかる。内積と同じくスカラー値だ。

ただしこれは2Dの場合で、3Dになると「ベクトル」になる。内積は3Dでもスカラー値だ。これは何故だろうか?

内積は同じ方向度合い。外積は直角方向度合い。

何が違うのだろう。

同じ方向度合いであれば、答えは一つなのだが、直角方向は3Dの場合は無数に出てきてしまうのだ。

Cocolog_oekaki_2017_08_04_10_16

こういうイメージ。円を描くように無数に出てきてしまう。このため、「値」でだけ表現するわけにはいかなくなった。それを特定することができるようにするために、結果をスカラーではなく、ベクトルにする必要があったのではないだろうか。昔の人の考えたことだから問い詰めるわけにもいかないんだけど。

まぁ、そんなことを考えつつ、外積の話をこの後していきたいと思います。




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