数学

ファインマン流物理学が分かるコツ

ファインマン流物理学が分かるコツ

暫く数学の話を書いていこうと思うにあたり、昔買った本を片っ端から引っ張り出して見ている。

その中で、あー、と思ったのが「ファインマン流物理学が分かるコツ」という本。

これはあのファインマンが、自分の所の学生の、クラスの下位の学生にコツを教えるために開いた講義の記録ノートみたいなもんです。

もちろん、下位といっても、カリフォルニア工科大学の下位なので、高校ではトップクラスだった学生に向けてです。ですから、序盤の話では、彼らに自信を持たせるような言い回しになっています。(哀しいことに僕の教える学校の下位は、高校、中学でも下位で、三平方の定理はおろか、ルートや分数、一次方程式もロクに分からない連中なのよね~)

ちょっと読んでみて気が付いたことだけど、この本は僕自身が物理学を分かるようになりたいと思って、20代くらいの時に買った本だったと思うんだけど、今は「ファインマンだったら内積の部分はどういう教え方をするのだろうか?」「つまづいている学生にどう教えるのだろうか」という所で気が付いた部分に線を引きながら読んでいる。

立場が変わったのだ。そして立場が変わったために、理解の仕方も変わったと感じる。「本当に理解」していないと「平易な言葉」で学生に教える事などできないからだ。

だから教科書通りに教えるのなんか簡単なのだ。そうではなく、彼らが納得するように教えるには、遠回りして(こちらの方が実は思索的には難しかったりする)教える必要があったりする。

遠回りすぎて逆にわからなくなるという批判もあるだろう。しかし、納得できないまま先に進むことは、結局身につかないことに繋がる。ファインマン氏も同じようなことを言っている。

今、読むと、改めて良い本だなあと感じています。


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「俺が」納得するための数学の話【内積から外積へ】

「俺が」納得するための数学の話【内積から外積へ】

さて、こないだ内積の話をしたので、そのまま外積に行ってしまいたいのだが、まぁ色々と疑問があったりで、中間でひとつ話を置きたいと思う。

良く言われるのが、内積の意味として「内積は【似ている度合】【方向が同じ度合】【その方向への値】を表す」という説明がある。もしくは内積は仕事を表すというのがある。

これは確かにそうで

A(a,b)というベクトルがあって、(1,0)との内積はaであり、(0,1)との内積はbである。このことから、「その方向」成分を抽出するともいえる。

また、この性質から、射影を表すともいえる。上の例では(1,0)も(0,1)も大きさが1であるが、これは言い替えると、

A・B=|A||B|cosΘ⇒(A・B)/|B|=|A|cosΘ

であることから、|A|cosΘはベクトルBへ真上から(広がらない)光を当てた時の影の長さと一致するわけ。このことから、Bが正規化されていればB方向への射影、B方向成分を抽出することができるわけだ。

また、物理学における「仕事」とは、力を加えて、ある方向に物体が動いたとき、力と動いた距離の積で表現される。

ただしこの時の力は動いた方向に寄与した分の力だけが「仕事」となるため、内積値を使用する必要がある。Wikipediaの説明だと

仕事

にも書いてるように、「物体に加わる力」と「変位」との内積であるとのこと。

まぁともかく、内積ってのは同じ方向を向いていればいるほどでっかくなるような積ってことだ。同じ方向度なので、特に「ベクトル」であらわす必要はない…このことから内積の結果はスカラー値となり、内積はスカラー積とも呼ばれる。

では、外積って何だろう?

意味合い的には内積が「似ている度合」なのに対し、「違ってる度合」といったところだろうか。それとも内積が「平行方向の成分」を抜き出すのに対し「直角方向の成分」を抜き出すという所だろうか。

どっちでもいいかな。僕にとっては。

ただ実用的にはというか「直角方向の成分」を抜き出すって方が考えやすそうだ。例えば、2Dの外積だとA(a,b),B(c,d)の場合

A×B=ad-bc

となる。この式と、内積のA・B=ac+bdをよく比較しよう。

A・B=ac+bd
A×B=ad-bc

なにか気が付くところはあるだろうか…少し書き方を変えてみよう

Naiseki

Gaiseki

を見比べてみよう…何か気づくことはないだろうか…。

もう少し書き加えると…

Kaiten

という風に、内積を90°回転させたものが外積であることがわかる。内積と同じくスカラー値だ。

ただしこれは2Dの場合で、3Dになると「ベクトル」になる。内積は3Dでもスカラー値だ。これは何故だろうか?

内積は同じ方向度合い。外積は直角方向度合い。

何が違うのだろう。

同じ方向度合いであれば、答えは一つなのだが、直角方向は3Dの場合は無数に出てきてしまうのだ。

Cocolog_oekaki_2017_08_04_10_16

こういうイメージ。円を描くように無数に出てきてしまう。このため、「値」でだけ表現するわけにはいかなくなった。それを特定することができるようにするために、結果をスカラーではなく、ベクトルにする必要があったのではないだろうか。昔の人の考えたことだから問い詰めるわけにもいかないんだけど。

まぁ、そんなことを考えつつ、外積の話をこの後していきたいと思います。




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「俺が」納得するための数学の話【内積】

「俺が」納得するための数学教室【内積】

さっきまで内積についてずーっと考えて、堂々巡りしてきたのでWikipedia見たら、なんか俺が知ってるというか、俺が学生に教えてる内積と全然違う説明だった。

内積

「もっかい線形代数を、本当に勉強しよう。これは、アカン」
と思ってしまいました。

とはいえ、これじゃあ高校でベクトルもやってない学生に教えるのは無理があるので、高校数学レベルのベクトルとして、内積を考えてみた。

いや、まず最初の疑問としてなぜ内積が

A(a,b)とB(c,d)だとすると
A・B=ac+bd

であるのか…だ。これ自体はA・B=||A||||B||cosΘとなるため、CG数学では非常に役立つ式なのだ。それは分かってるんだが、そもそもなぜ内積をac*bdと定義したのか?

思い付きか?

という疑問がわいてきたのだ。で、無駄に色々と考えてみたのだ。

ベクトルの代わりに、複素数を考えみた
たとえばベクトル(a,b)→a+biのように考える。
ベクトル(a,b)とベクトル(c,d)の内積の代わりに
(a+bi)(c+di)
を考えてみる。
そうすると
ac+bci+adi+bdi^2
となり…ああ、ac+(ad+bc)i-bdになってダメだわ…あー。

これは違う…まぁ、こういう事も思考過程として一応書き残しておく。

次に正規直交ベクトルとしてp,qを考える。pおよびqの大きさは1であり、p⊥qである。

そうすると、ベクトルA=ap+bqとなり、B=cp+dqとなる。その上でAとBの積を素直にやってみる。すると

(ap+bq)(cp+dq)=(ac)p^2+(ad+bc)pq+(bd)q^2

となる。p^2およびq^2は正規直交ベクトルなのでそれぞれスカラーの1となる。このため

ac+bd  +  (ad+bc)pq

となり、p⊥qであるから、pq=0となる。

が、それは何故なのだろうか?直交するベクトルの積が0であることを同様に証明してみよう。

次のようなベクトルを考えてみます。

Yogenvector

ここで余弦定理を思い出してみましょう。すると
(B-A)^2=A^2+B^2-||A||||B||cosΘ

ですよね?展開すると

A^2+B^2-2AB=A^2+B^2-2||A||||B||cosΘ

となりますので、整理すると

AB=||A||||B||cosΘ

となります。つまりベクトルの積がベクトルの大きさの積にcosΘをかけたものであることがわかります。

ここで正規直行ベクトルに戻り
pqを考えます。

pq=||p||||q||cosΘ

です。||p||=||q||=1およびp⊥qであるからこの場合のcosΘ=0となり

pq=0

となります。ここで

(ap+bq)(cp+dq)=(ac)p^2+(ad+bc)pq+(bd)q^2

の式に戻りますと、当然p^2=q^2=1であり、pq=0であるから

A・B=ac+bd

となり、内積の定義となるわけです。

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ロピタルの定理

ってのがあるWikkipediaから持ってきたが、こういうのだ

Ropital

こいつをどう思う?微分が分かる人なら分かると思うけど

…すごく…便利です。

ですよねー!!

てな感じ。大抵の式ってのは微分すると簡単になる。

x2の微分は2xである。x3の微分は3x2である。つまり簡単になる。で、極限値において、微分したので構成される分数と、微分してないので構成される分数が等しいと言う。

こんな便利なものを使わない手はありませんよ!奥さん。

と、思うのだが、大学入試では使ったらいかんらしい。…なんで?こんな便利なもん使ったら、考える力が養われないってか。

とはいえ、こういう教育方針にも弊害があることを知ってほしいのだが…。うちのメインプログラマーは良くこんな愚痴をこぼす「簡単なことを難しくしやがって…」

そう、「知っていれば簡単に解決する問題」を知らないとき、どうする?

A:むむむ、こんなの初めて、だが、解決策はあるはずだ。先人がきっと解決しているはずだ。

B:むむむ、こんなの初めてだ。でも、でも俺は根性で何とかするぞ!!

という2パターンがいると思います。ウチのメインプログラマーはBに対して、非常に批判的な感情を持っています。ちなみにPerlのラリーウォールさんも同感でしょう。

The quality that makes you go to great effort to reduce overall energy expenditure. It makes you write labor-saving programs that other people will find useful, and document what you wrote so you don't have to answer so many questions about it.

プログラマーの三大美徳のうちの怠惰(Laziness)ですね。

「楽をするための努力を惜しむな!」

耳が痛いですね。時間制限やプレッシャーに負けて、その場限りのものを作ったり、手入力でデータを作成することもあります。面の皮の厚さも必要です。

ところが、日本人はこういう教育環境で育ってきた人が多いのか、Bの人が多いようです。プログラマなんかまだマシですね。僕は他の業界にもいたので知ってるけど、グラフィクスソフトのマクロ機能とか使わないと言うか、知らない人も多いのですよ。CADとかやってる人たちもそんな人が多かった。

理由は「色々覚えるのが面倒だ」でした。まぁ、おかげで、当時の僕は一番仕事が速かったのですが。別に手を動かす速度が早いわけでもなくて、本読むのが好きだったから、暇なときにソフトのヘルプとかずーっと読んでて、いつの間にか当たり前のように使ってた。

まぁ、Bは「勤勉が美徳」って思っている一般的な日本人にぴったりの考え方かもしれません。でも、そんなんじゃこれからの国際競争には勝てないし、どうせ逸れに対抗しようとすれば、残業とか、過労死するしかないわけで、それでもBを選び続けるのだね。というか、要は「俺は一生懸命やってますよ」アピールがしたいわけだ。

こういう教育制度の下で育っているから、こんなキチガイが平気で上司になってたりする↓

http://okwave.jp/qa/q5419623.html

とはいえ、「マクロがずるい」というのは小学生以下としても、マクロ禁止にはそれなりの理由があることもある。

SOX法でマクロが使用禁止?
http://itpro.nikkeibp.co.jp/article/tousei/20061208/256411/

ただこの投稿者は一般事務とかやらないほうが良いね。もっと上流の仕事をやるべきでしょう。一般事務が能力低いと言っているわけではなくて、向き不向きってのがあるの。

こういう人はたぶんAでしょう。一般事務はBの人。それぞれ住み分けないと…。まぁ、マクロは書けるけどA集団の中で仕事するには実力不足だったのかもしれん。

それなら解決方法は、

1.みんなにも教えて、全体の効率を上げてあげる
2.もっともっとこっそり使う

正当な意見は1だろう。もしかしたら他にもマクロ使いが、それもすごい奴がいるかもしれん。それだったらラッキーだ。一人でやるよりずっと安全だし、複数いれば全体に広まるのも早い。

が、そう簡単でもないと思う。私がCAD使いだったときも、みんなにマクロ教えてあげたが、ちっとも使っていない。なんでかというと面倒だからという。

使うのが怖いとかそういうのでなくて、面倒なんだって。

みんなに教えてあげたところで、そういう目にあうかも知れん。挙句Bタイプの人からズルイとか言われちゃかなわん。

そうなら、2を用いよう。あまり褒められたことじゃないが、Aタイプは手入力なんて我慢ならんわけよ。そこに矛盾が生じているわけで、そうか、要は「手入力したかのようなデータを提出すればいい」わけよ。

だから、マクロで作ったデータをいったんコピーして、値のみペースト

これであたかも手入力したかのようなデータになる。まーとにかく、Aの人間は派遣の事務とか辞めた方がいい。それならもう少し勉強して別の仕事をすべきだと思う。

ただし、プログラマーと言う職業は気をつけてないと、どんなに工夫しても(工夫すればするほど要求レベルは上がっていくので)過労死するまで働くことになることもあるので、要注意。

あー!もう!また話が逸れた!しかもまた労働関係!!よっぽどたまってんなー!今週練習いけてないからなぁ…

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マンハッタン距離

Wikipediaにマンハッタン距離の説明を見つけました。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%83%E3%82%BF%E3%83%B3%E8%B7%9D%E9%9B%A2

で、ここで疑問に思ったのが、この格子の感覚を限りなくゼロにするとどうなるのだろうか。

勿論、「マンハッタン距離の定義」では、

| x1x2 | + | y1y2 |

なのだから、限りなくゼロにしようが、

| x1x2 | + | y1y2 |は| x1x2 | + | y1y2 |なのである。

でも、微分を勉強した僕は考える。限りなくゼロにすれば

  ____________
√( x1x2 ) 2+ ( y1y2 )2

って、なるんじゃないかって。たとえば、(X1-X2)=(Y1-Y2)=1だったら、マンハッタン距離は2だけど、直線距離は√2だよね?で、この限りなくゼロにした場合はマンハッタン距離は√2にならないのかった思う。

まぁ、そういうルールだって言えば、実も蓋もないんだけど…。じゃぁ微分って何?結局極限だの無限だのとわけのわからんことで煙に巻いているだけじゃぁねぇのか?

なんて、思ったりする。

仕事のストレスだろうか、へんな考えが治まらない。

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フェルマーの最終定理…

『数学ガール/フェルマーの最終定理』

ってのを結城浩さんが、出版するらしいです。そういえば、このブログでもフェルマーの最終定理の話を少し前にしたばかりですね。

図書館で借りた「フェルマーの最終定理―ピュタゴラスに始まり、ワイルズが証明するまで 」ってな本で気になったのは、ソフィ・ジェルマンって人です。この人は女性なのですが、数学にとり憑かれた数学者の一人だそうです。時代が時代だけに女性の功績は取り上げられなかったようですが、かのガウスは高く評価していたようです。

僕が知っている女性の中にも数学が得意な人たちがいました。微分積分の分野でしたが、ずば抜けたものを持っていました。

こと数学面において、女性が劣っていると感じたことは一度も無いです。文化的に女性をそちら(理系)に置きたがらない傾向が、少なくとも日本にはあるようですが。

学生の頃から、数学ができる女子生徒に対しては憧れ、そして萌えを抱いていました。そこにはまり込んだのが数学ガールなのでしょう。僕以外にもそういう思いを持っている人はたくさんいたようで、売れたみたいですね。コミックにもなるらしいですし。

ソフィジェルマンについて参考になるページhttp://www.script1.sakura.ne.jp/essey_h/e091.htm
http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/women.htm

いや、マジで、理系の、特にアカデミックな部分では女性はこれからどんどん出てくるのではないでしょうか。脳の特性が云々言う奴がいますが、云々言い過ぎです。そんなに能力の高い女性を認めたくないのかね。

僕はフェミニストの反対側の人間ですが、どうも女性に対して不当な先入観を持っている輩が多いのでこんなことを書いてみました。

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そういえば

最近やけに

「フェルマーの最終定理」

が目に付くんですけど。流行ってるの?説明するまでもないので、説明は↓に
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86

お任せするとして、うーん、そんなに興味ある?本も売れてるらしいけど。

http://www.amazon.co.jp/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86-%E6%96%B0%E6%BD%AE%E6%96%87%E5%BA%AB-%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%B3-%E3%82%B7%E3%83%B3/dp/4102159711

820円だったら確かに読んでみようかなとも思うけど。買う前にwikipediaの説明見て興味
持ったら~のほうがいいと思います。また

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronN/node1.html

こういうページがあるので、ざーっとは見とこう。物語を追うだけならいいけどね。

しかし高校時代に数列が苦手で11点とって「死のう」とか思ってたのにな。
また数学のお世話になろうとは…。さらに苦手な複素数も避けられないみたいだし

そうそう、フェルマーの最終定理を見てたらポアンカレのモジュラー形式だの谷山・志村予想だので
複素数が出てくるんだ。整数論なのに複素数…不思議だなぁ。もうその発想が…すげえ。

仕事の役には立たねえんで、レバレッジ勉強法に反してはいるが楽しい分野だ。

うおぅ、生姜がカビてる。99Shopだから仕方ないか…。

いや待てよ。普通のスーパーでも100円くらいだから…でももう食っちまったし。
気にしない。気にしない。気にしたら負けかなと思っている。

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植木算

最近とにかくグラフ理論にはまっており、勉強しまくっているけど、序盤から先に
なかなか進まない。応用事例からやったほうがイイのかな。

と考えていると、植木算という用語をみつけました。
http://coolee.at.infoseek.co.jp/graphtheory.html#0

へぇ…初めて聞いた用語だぜ。で、
http://www.morinogakko.com/classroom/sansu/bunsyoumondai/uekizan/index.html

というページで演習問題を全て暗算でやった。二箇所正解ではなかったようだけど、コレって間違い?

階段を、1階から5階まで登るのに、5秒かかるエレベーターがあります。
このペースで、40階まで上るには、何秒かかるでしょうか

てな問題。1→2→3→4→5で、5秒。矢印部分に対して5秒だから厳密には矢印ひとつあたり5/4秒である。
これが40階の場合、矢印は39個、5*(40-1)/4と言う計算ではじき出すと、48.75秒。
端数がダメなら49秒のはず。でも答えは50秒…説明もかいてないので納得いかない。

そして二つ目の間違い。

もりの村のお金の単位はフチです。
もりの村のタクシーは、最初の2000mは600フチです。
それから、300メートル毎に80フチかかります。
2100mタクシーに乗ると何フチかかるでしょう。

680フチだろう?計算するまでも無いんだけど。でも答えは920フチ…。
なんで?と思ったら、回答部分の問題と実際の問題が食い違って…アッーーー!

なんかプチイライラするなぁ。とかなんとか、こんな横道にずれてるからグラフ理論が
なかなか先にすすまないんだろう。

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問題

1,5,13,29,57

はい、次は?できれば漸化式と一般解も…

答えは次回(はい、数学ガールにはまってるので、自分で問題をつくってみました。)
だれも答えてくれへんかったら悲しいなあ。

ヒント:正方形(下手するとこのヒントが逆に混乱を招くかも…)

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